Calcularea parametrilor în dispozitivele semiconductoare [Articol]

Abstract

Să formulăm problema matematică pentru determinarea parametrilor unei diode bazat pe modelul Drift-Diffusion. Domeniul de rezolvare este o suprafaţă dreptunghiulară Ω = �𝑥𝑥̅ = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦): 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑙𝑙 𝑥𝑥, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑙𝑙 𝑦𝑦 �. În calitate de funcţiile necunoscute le vom alege pe următoarele: 𝜑𝜑 – potențialul electrostatic, 𝜑𝜑𝑛𝑛 şi 𝜑𝜑𝑝𝑝 – cvasi nivelurile lui Fermi pentru electroni și găuri, respectiv. Aceste funcții terbuie să satisfacă următorul sistem de ecuații diferențiale neliniare −∇ ∙ (𝜀𝜀∇𝜑𝜑) = 𝑞𝑞(𝑝𝑝 − 𝑛𝑛 + 𝑁𝑁) ; −∇ ∙ (𝐽𝐽𝑛𝑛) = −𝑞𝑞(𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺 ) ; ∇ ∙ �𝐽𝐽𝑝𝑝� = −𝑞𝑞(𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺 ) ; 𝐽𝐽𝑛𝑛 = −𝑞𝑞𝑛𝑛𝜇𝜇 𝑛𝑛 ∇𝜑𝜑𝑛𝑛 ; 𝐽𝐽𝑝𝑝 = −𝑞𝑞𝑝𝑝𝜇𝜇 𝑝𝑝 ∇𝜑𝜑𝑝𝑝 ; 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑖𝑖 exp �𝜑𝜑−𝜑𝜑 𝑛𝑛 𝜑𝜑 𝑇𝑇 � ; 𝑝𝑝 = 𝑛𝑛𝑖𝑖 exp �𝜑𝜑 𝑝𝑝−𝜑𝜑 𝜑𝜑 𝑇𝑇 � . Metoda de rezolvare a problemei formulate cu соndiţii la frontieră mixte a fost realizată prin scrierea unui program în limbajul Fortran la clusterul USM cu utilizarea aplicaţiilor Petsc (Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation). S-au executat simulări cu scopul estimării gradului de eficiență a procedeului și sof-ului elaborat. Rezultatele sunt reprezentate în tabelul de mai jos. Tabelul 1. Durata calculelor (metoda gradientului conjugat) pentru o reţea de 400×800 în dependenţă de numărul de procesoare Nr. de procesoare 1 2 4 8 Timpul, sec. 1 35.96 96.9 8 49.9 7 26.3 3 Coeficientul 1 0.71 0.37 0,19